特にFirefoxでしか出来無いというわけではありませんが、私は仕事柄標準のブラウザはFirefoxです。

一日のうち6割以上はこの画面を見ているのですが、下記画像のように受信したメール(の未読数)がすぐに数字として表示されるアドオンがありました。

Outlook.comはメールソフトのOutlookのように使えるMicrosoftのWEBサイトです。Gmailなどのメールサービスのほか、プロバイダメールなども送受信できます。

outlookcom

Chrome用
https://chrome.google.com/webstore/detail/outlookcom-notifier/mkmomflkhdooajekmffpilpoenndjppk?hl=ja

Firefox用
https://addons.mozilla.org/ja/firefox/addon/outlook-notifier/

Opera用
https://addons.opera.com/ja/extensions/details/outlookcom-for-opera/?display=en

Opera用(スピードダイヤルにOutlook.com通知領域が現れます)
https://addons.opera.com/ja/extensions/details/outlookcom-speed-dial/?display=en